I numeri naturali
In matematica con l'espressione numeri naturali si indica l'insieme {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Esso viene fatto corrispondere biunivocamente all'insieme dei numeri interi non negativi {0, +1, +2, +3, +4, ...}. Talvolta viene usata anche per indicare l'insieme dei numeri interi positivi { 1, 2, 3, 4, ...}.
Questi sono i primi numeri che si imparano da bambini e sono i più semplici da comprendere. I numeri naturali hanno due scopi principali: possono essere usati per contare o per definire un ordinamento.
Notazioni
In matematica si usa il simbolo N per indicare l'insieme dei numeri naturali. Nella maggior parte Idella letteratura matematica contemporanea, si assume che l'insieme dei numeri naturali contenga anche lo zero; per evitare ogni ambiguità è spesso usata la dizione "interi non negativi". Per mettere in evidenza che l'insieme non contiene lo 0 si usa la scrittura N , quindi
N ∗ = { 1 , 2 , 3 , ... } .
Talvolta con la notazione N si indica invece l'insieme dei naturali con lo zero incluso.
Nella teoria degli insiemi, l'insieme dei numeri naturali in quanto insieme bene ordinato viene denotato con ω, e rappresenta il più piccolo numero ordinale infinito. Quando è usata questa notazione, lo zero è incluso.
Definizioni formali
Nonostante la sua intuitività, quello di numero naturale non è, in matematica, un concetto primitivo: è infatti possibile darne una definizione basandosi unicamente sulla teoria degli insiemi. La definizione è utile perché permette anche di estendere il concetto di numero a oggetti più generali: i numeri transfiniti.
Storicamente, la precisa definizione matematica dei numeri naturali ha incontrato alcune difficoltà. Gli assiomi di Peano definiscono le condizioni che ogni definizione matematica precisa deve soddisfare. Alcune costruzioni mostrano che dall'interno di una teoria degli insiemi è possibile costruire un modello degli assiomi di Peano.
Gli assiomi di Peano
sono un gruppo di assiomi ideati dal matematico Giuseppe Peano al fine di definire assiomaticamente l'insieme dei numeri naturali.
Un modo informale di descrivere gli assiomi può essere il seguente:
- Esiste un numero naturale, 0
- Ogni numero naturale ha un numero naturale successore
- Numeri diversi hanno successori diversi
- 0 non è il successore di alcun numero naturale
- Ogni sottoinsieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)
Gli insiemi numerici
Una foresta è un insieme di alberi; la folla sugli spalti di uno stadio è un insieme di persone; un gregge o una mandria sono insiemi di animali. Ecco alcuni termini (fra i molti esistenti) che si riferiscono a collettività, non a oggetti singoli. Usare parole che indicano un insieme è naturale e intuitivo. Raggruppare molti elementi sotto un unico concetto è tipico del modo di pensare dell'uomo, è un fatto elementare, che ognuno utilizza, ma, come spesso accade, sono proprio le idee elementari quelle più importanti. E così oggi il concetto di insieme è alla base di tutta la matematica che in ogni sua parte utilizza il linguaggio degli insiemi. In matematica, un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo che permette di decidere univocamente se un qualunque oggetto fa parte o no del raggruppamento. Si tratta di un concetto fondamentale della matematica moderna, a partire dal quale si è sviluppata la teoria degli insiemi.
Nell'uso informale gli oggetti della collezione possono essere qualunque cosa: numeri, lettere, persone, figure, ecc., anche non necessariamente omogenei; nelle formalizzazioni matematiche gli oggetti della collezione vanno invece ben definiti e determinati. Il concetto di insieme è considerato primitivo ed intuitivo: primitivo perché viene introdotto come nozione non derivabile da concetti più elementari; intuitivo perché viene introdotto come generalizzazione della nozione di insieme finito, che a sua volta è introdotta dall'analogia con l'esperienza sensibile di scatole che contengono oggetti materiali; questa impostazione si basa sulla convinzione che l'idea di insieme sia naturalmente presente nella mente umana.
Gli oggetti che compongono un insieme si dicono elementi di questo insieme; nel linguaggio matematico, detto a un elemento dell'insieme A, si dice che a appartiene ad A o in simboli. Un insieme A è sottoinsieme di un altro insieme B quando tutti gli elementi di A appartengono anche a B.
Ciò che caratterizza il concetto di insieme e lo differenzia da strutture matematiche simili sono essenzialmente le seguenti proprietà:
- Un elemento può appartenere o non appartenere a un determinato insieme, non ci sono vie di mezzo;
- Un elemento non può comparire più di una volta in un insieme;
- Gli elementi di un insieme non hanno un ordine di comparizione;
- Gli elementi di un insieme lo caratterizzano univocamente: due insiemi coincidono se e solo se hanno gli stessi elementi.
Cardinalità
La cardinalità di un insieme è il numero che indica la quantità dei suoi elementi. Ad esempio, l'insieme ha tre elementi, quindi cardinalità 3; l'insieme dei numeri naturali ha invece cardinalità, il primo cardinale infinito.
Un insieme si dice finito se ha un numero finito di elementi, infinito se contiene infiniti elementi.
Operazioni tra insiemi
A partire da due o più insiemi è possibile formare altri insiemi. Possiamo per esempio considerare l'intersezione di due insiemi A e B, cioè l'insieme formato dagli elementi che appartengono sia ad A sia a B e che si indica con A ⋂B.
In un diagramma di Venn l'insieme intersezione è rappresentato dalla regione comune agli insiemi, rappresentata in colore.
Per esempio, se S={a, b, c, d, e, f} e V={vocali}, allora S ⋂V={a, e}.
Da un punto di vista logico l'intersezione di due insiemi corrisponde all'insieme formato dagli elementi che verificano le proprietà di entrambi gli insiemi: è cioè definito dalla congiunzione delle due proprietà attraverso la particella e. Per esempio, dati i due insiemi A={multipli di 3} e B={multipli di 5}, si ottiene A ⋂ B={multipli di 3 e di 5}. Si può anche scrivere A ⋂ B={multipli di 15}.
È possibile che due insiemi non abbiano alcun elemento in comune. In tale caso la loro intersezione è l'insieme vuoto: due insiemi con intersezione vuota si dicono disgiunti. Per esempio P={numeri pari} e D={numeri dispari} sono insiemi disgiunti (P ⋂ D=Ø) poiché i numeri sono o pari o dispari.
Oltre all'intersezione si definisce un'altra operazione tra insiemi, l'unione. Si dice insieme unione di due insiemi A e B quello formato dagli elementi che appartengono ad A, a B, oppure a entrambi. L'unione si indica con A ⋃ B. In un diagramma di Venn l'insieme unione è rappresentato dalla regione comune agli insiemi, qui in colore. Per esempio, se S={a, b, c, d, e, f} e V={vocali}, allora S ⋃V={a, b, c, d, e, f, i, o, u}.
Da un punto di vista logico l'intersezione di due insiemi corrisponde all'insieme formato dagli elementi che verificano le proprietà di uno oppure dell'altro degli insiemi: è cioè definito dalla disgiunzione delle due proprietà attraverso la particella o come in questo esempio: S={prime sei lettere dell'alfabeto}, V={vocali} e S ⋃V={prime sei lettere dell'alfabeto o vocali}.
Venn ed Eulero
John Venn, matematico inglese vissuto tra Ottocento e Novecento, utilizzò i diagrammi per illustrare le diverse combinazioni logiche che si ottengono considerando proposizioni tra di loro connesse dalla congiunzione "e", dalla disgiunzione "o", dall'implicazione "se... allora", oppure negate con "non". Egli diffuse, più che inventare, l'uso di tali diagrammi che già erano stati utilizzati varie volte in precedenza, per esempio dal filosofo e matematico Leibniz e da Eulero.
Proprio Eulero, uno dei più versatili matematici di tutti i tempi, aveva utilizzato i diagrammi per spiegare le relazioni logiche alla principessa di Anhalt-Dessau, nipote del re di Prussia, della quale era precettore in matematica, fisica e filosofia.
Il paradosso del barbiere
Agli inizi del 20° secolo il matematico e filosofo Bertrand Russell ha messo in crisi la teoria degli insiemi, sulla quale si stava costruendo l'edificio della matematica. Egli infatti vi ha trovato una contraddizione poi illustrata con il cosiddetto paradosso del barbiere. In un villaggio c'è un barbiere che rade tutti gli uomini che non si radono da soli, e soltanto loro. Problema: il barbiere rade sé stesso?
Dividiamo tutti gli uomini del villaggio in due insiemi disgiunti: A={uomini che si radono da soli}, B={uomini che si fanno radere dal barbiere}. Chiamiamo b il barbiere. Se b∈A, se cioè il barbiere rade sé stesso, allora egli si fa radere dal barbiere, e quindi b∉A; se viceversa, b∈B cioè il barbiere si fa radere dal barbiere, allora egli si rade da solo e quindi b∉B.
Il paradosso di Russell ha portato a una crisi dei fondamenti della matematica e da questa crisi sono scaturite ricerche e definizioni più approfondite sul piano logico.